什麼是數學競賽？如果讀者完全沒有概念，底下是一個典型的問題。

班上有25個人，坐在教室裡的座位上。現在新學期到了，要換座位。能不能使得每個人換完座位後都坐在原來位置的旁邊（前、後、左、右皆可）？

我誠摯希望讀者可以停下來試一試這個問題。然後你就會知道為什麼這麼多聰明的小孩對數學如此著迷，數學競賽又是多麼有趣以及不容易。

國際數學奧林匹亞競賽

讀者手上的《數學高手特訓班》是一本談論數學和數學教育的書。這本書以2001年國際數學奧林匹亞競賽（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的過程串起整本書。為了使讀者很快進入情境，先簡單介紹一下 IMO。

IMO始於西元1959年，第一屆於羅馬尼亞舉行，只有九個國家參加。之後除了1980年之外，每年皆舉辦（台灣為1998年主辦國）。第四十七屆甫於2006年7月在斯洛維尼亞的首都利比安那舉行，未來2007、2008、2009年的東道主分別是越南、西班牙、德國。

近年來參加的國家已經穩定在九十個左右，每個國家至多派六名選手。絕大多數的國家都派滿六位選手。選手必須是不超過二十歲的高中以下學生。考試分成兩天，每天四個半小時，一共只考六題，每天三題，難度遞增。每題7分，滿分是42分。

分數居於所有選手中的前二分之一可以獲得獎牌。獲得獎牌者按照1：2：3的比例分別得到金牌、銀牌、銅牌，因此約40人可獲金牌，80人可獲銀牌，120人可獲銅牌。若沒有得牌但是有完整答對一題的選手獲得榮譽獎。

關於這本書

數學牽涉到許多符號，這些符號其實是一種語言，在精熟語言之前很難欣賞語言的美。也因此，數學的科普書籍最難寫。讀者手上的是一本相當有企圖心的數學科普書，不止完整呈現了2001年IMO，更主要的是順藤摸瓜討論許多嚴肅的議題。

實際上這本書對於競賽本身著墨不多，反而對於數學、數學家傳記、數學教育、資優教育、心理學、社會學等議題花了極大的篇幅。因此與其說這是一本談數學競賽的書，不如說這是一本藉由數學競賽這個事件，全面綜覽介紹相關理論的書。對於爭議性的議題（男生是否比女生有數學天分、數學家是否都很早慧、先天和後天的爭議等）本書都兩面俱呈，咸信讀者在閱讀完全書後將有許多收穫。各章的主線大概是這樣的。

第一章的情景為IMO開幕前。接著提及美國的幾個資優教育計畫，討論了「男生比較有數學天分」這個迷思。第二章，比賽開始。隨即介紹了數學解題競賽在數學發展上長久以來的傳統，接著討論了數學課堂上如何教數學的論戰。第三、四、五、七、八、九章的情景分別是第1、2、3、4、5、6題，隨著每一題題目的介紹，同時介紹一個選手的求學經驗和個人背景，每一章也各自有探討的議題。第三章談數學家的早熟，以及文字／圖像思考的理論。第四章談「競爭」在推動創造與進步過程中扮演的角色。第五章討論「天才」和「天分」這兩個模糊的概念，亦提及優秀的表現到底是先天天分或是後天努力的論戰。第七章談到「創造力」的來源和理論。第八章提及對資優生的追蹤--是否在成人之後仍然有傲人的成就，或是淪入「小時了了大未必佳」的批評中。第九章稍嫌離題，花了許多篇幅介紹費馬大定理的背景及解決過程，雖然威爾斯（Andrew Wiles）是書中2001年IMO的頒獎特別來賓，他的成就也的確是人類心智的驕傲。第十章的場景是比賽的評分協調、成績公布與頒獎。此章順道提及了科學研究與數學競賽的差異，威爾斯對數學研究精闢的言論也非常值得回味。最後一章追蹤了書中各主角的現況，附錄是各個問題的解答，以及許多值得研讀的研究文獻。

盡顯數學迷人之處

書中真正對IMO著墨並不多。IMO只考六題，看起來似乎簡單，但是實際上非常困難。IMO 每年題目難度不一，但通常只要在六題中答對二題半至三題就可以拿到銅牌，金牌要答對四題半至五題以上。

這些題目有多不容易？跟讀者分享一個故事。2006年IMO我個人擔任國家代表隊的領隊，這一年題目是近十年來題目最難的一屆，只要28分就可以拿到金牌（2005年IMO要35分才有金牌）。壓軸的第六題是這樣的:

對於凸多邊形P的每一邊b，固定b為一邊，在P內部做一個面積最大的三角形。試證: 對P的每一邊，按上述方法所得的三角形面積總和至少是P的面積的兩倍。

這個問題和前述換位子問題的難度相差簡直不能以道里計。記得批改第六題時，我看著考卷搖頭嘆氣，這一題我們六位選手全部零分。選手們真的很努力，但就是攻不破這個難題。這成績很糟嗎？不。這一題的困難度寫下IMO的歷史新紀錄--498個各國身經百戰、精挑細選出來的選手中，此題得到七分的只有8位，然後掛蛋零分的有471位。

因此這些選手之中隱藏著非常特殊的，未來有機會大放光芒的數學人才。這絕對不是巧合--從1990年開始，四年一頒的數學界最高大獎費爾茲獎得主，每一屆的得獎人中都有往年的IMO得牌者。1990年德林斐特（Vladimir Drinfeld），1994年的約科（Jean-Christophe Yoccoz），1998年的博切茲（Richard Borcherds）與高爾斯（Timothy Gowers），2002年的拉佛格（Laurent Lafforgue），以及今年（2006 ）的陶哲軒（Terence Tao）和裴瑞爾曼（Grigori Perelman），在中學時代都在IMO拿過獎牌。

讓我們回到一開頭的換位子問題。也許讀者已經花了一些時間嘗試，試了好幾十次，就是差那麼一點點。我們會開始懷疑題目的要求是否根本辦不到--於是原來的問題轉化成一個猜想: 不可能換完座位後每個人都坐在原來位置的旁邊。猜想需要證明。證明是建構在邏輯推理之上的論證，這是數學與其他科學最不同的地方。我們來欣賞底下絕妙的證明:

證明：將25個座位按照西洋棋盤一樣交錯塗上黑白兩色。假設左上角的座位是黑色的，則一共有十三個黑色座位，十二個白色座位。如果要順利換位置，則原本坐在黑色座位的人要換到白色座位去。但是這是不可能的，因為白色座位不夠多。因此不管怎麼換都不可能成功。

數學的神奇在於，一旦證明出來就是斬釘截鐵。不用再試了，換座位絕對不可能。我希望讀者可以理解這個論證，從而理解為什麼數學如此迷人，理解為什麼這麼多的學生可以為了數學廢寢忘食。我更希望讀者可以體會，一個沒看過類似問題的學生如果能在有限的時間之中想出這樣天外飛來一筆的解答，是多麼令人驚異。

弦外之音

《數學高手特訓班》經由大量的訪談、側寫、資料分析及文獻整理，內容可說是豐富。但原書作者畢竟不是身在其中，因此以下的一些面向很值得思考。

首先，只有極少數的選手在選拔過程中不曾感受到壓力。IMO名額有限，要出線成為國家代表隊是非常競爭的。理論上IMO是個人賽，但是比較各國總分是不成文的習慣，各國的競爭也是非常激烈的。我從在建中任教多年，到現在擔任領隊，看到各階段選手在整個選拔及考試過程中的心路歷程，真是點滴在心頭。在這方面本書少有提及，是小小的缺憾。

其次，在IMO之中，選手的心理素質和努力比起天分更為重要。選手要有連續幾個小時盯著一個問題抽絲剝繭分析問題的耐心，以及克服無計可施或做不出來的焦慮。再者，選手必須要學會一個非常難的本領: 一方面盡全力爭勝、挑戰自己的極限，另一方面要接受人外有人的殘酷事實。最後，至少就我所知，每一個選手都非常努力。近年來IMO的問題愈來愈難，縱使再有天分，沒有經過刻苦的努力仍然難有滿意的成績。

書中幾乎把每一個解答都稱為有資格放入數學家艾狄胥所稱的《天書》（The Book）之中，這個評價未免過譽。這些選手提供的解答的確精巧，但是以專業的眼光來看，還不至於不可思議。事實上，IMO累積幾十年來也才頒過三個解題特別獎，這些特別獎才是真正有資格放在《天書》裡的。

資優生有很多面向，書中六位主角的同質性相當高。但無論如何，資優生總是充滿創意以及幽默感，且在不知不覺中測試各種極限。書中對於這方面的描述非常精準，比如一個簡單的遊戲可以發展出各式各樣的花招。至於數學競賽，則要在很短的時間內想出一個難題的解答，有些難題根本就是嚴肅學術研究的特殊情形。參加競賽的選手會把自己訓練成擁有一個本領：在有限的時間內極端集中注意力，用盡一切想得到的方法旁敲側擊、抽絲剝繭、做大量的實驗找規律，然後靈光一閃，得到一個完美的解。解數學題是非常個人的、非常內在的心智活動，像是在房間中摸黑尋找開關，每個人摸索的過程都不盡相同。但是一旦找到了開關，大放光明，一切都變得清清楚楚。

找到開關的喜悅，就是數學家持續從事學術研究而無怨無悔的動力。數學是一門嚴格的科學，所有定理的推導都架構在邏輯推理上。定理或有深淺之分，但是這種追尋永恆事物的心以及不朽的渴望，是數學家一輩子追尋的目標。

IMO在某方面和做數學研究是一樣的，都要經過大量思考和累積大量的經驗才能有一些進展。但是這兩者又非常不同，競賽是尋找設計好的題目的解答，但是數學研究連題目和解答在哪裡都不知道，數學研究需要更多的耐心與熱情，是更大的挑戰。並非每一個擅長數學競賽的人都適合做數學研究，也並非每個數學大師都擅長數學競賽。因此，對數學有興趣的學生切莫有競賽結果定終身的誤解，也不要有必須多才多藝的迷思。比起快速解題，數學家或許更習慣也更欣賞慢工出細活的深刻工作。但是無論如何，只有鍥而不舍的努力才能真正一窺數學的堂奧。

台灣的現況

讀者可能非常好奇台灣的現況。的確，台灣有非常多的故事可以寫，也許有機會再向讀者介紹。筆者的網誌上也有一些有趣的故事可供參考。

台灣自1992年起參加IMO後，一直維持約在全世界10±5名，是不錯且穩定的成績（再次強調，IMO是個人賽，國家排名是非正式的）。我們的國手選拔有幾個關卡。第一個關卡是每年三月舉行的亞太數學競賽（APMO），約居於前二十五名的學生可進入一共三個階段的國手選訓營。選訓營選拔出六位國手，進入四月底開始一路到七月初的五個階段國手培訓營，七月上旬出國比賽。選訓營和培訓營主要都安排在假日，但根據這幾年的經驗，選手們也都能把課業處理得好。

每年我們約有一百名學生可參加APMO。來源有三，一為去年參加過而今年仍符合資格者。二為參加教育部舉辦之資優營及亞太營（每年二月，名單皆由各校推薦） 表現優良的同學。三為每年教育部全國能力競賽前三等獎的同學。以上制度已經行之有年，每年資優營和亞太營總是非常令人興奮，人才濟濟，共聚一堂。聰明的學生互相激盪，而未來的大科學家很有可能就在其中，這是非常美好的經驗。

台灣因為升學主義的積弊難除以及刻板的生涯規畫，並非所有深具潛能的學生都能自由選擇並得到上述充分的資訊。有些學生根本連參加的機會都沒有--或者家長學校不鼓勵，或者學校沒有資訊或傳統，或者是其他的原因。基礎科學的人才可以推動社會大進步，這方面值得我們努力。

學生的潛能是無限的，教育的目的就是要讓每一個人發揮最大的潛能。愈聰明的學生愈不要用框框和規則限制，太早設定目標或是限制太多對於資優學生是傷害。只要提供機會、環境和視野，學生就會發展得很好。書中有一句話相當真確：「每位數學奧林匹亞選手都記得，他們生命中有些關鍵時刻帶來深遠的影響。」

最後用書中的一句話作結：「藉著觀察這群奧林匹亞代表隊成員如何解決數學問題，我們至少可以從中一窺能夠造就人類偉大突破的特質。」

（本文作者為國立高雄大學應用數學系助理教授，2006年國際數學奧林匹亞競賽中華民國代表隊領隊。）